圆心在直线上且过两点的圆的方程

时间:2024-09-25 16:24:11 | 文章来源:教育宝

在高中平面几何解析里,圆是非常重要的一种图形。我们经常会遇到求解圆方程的题目。在不同情形下,我们需要结合已有条件和圆方程的概念来解答题目。

圆心在直线上且过两点的圆的方程

两点距离为直径,两点中点为圆形,假设一点A(x1,y1),B(x2,y2),那么半径r=根号[{(x2-x1)的平方}-{(y2-y1)的平方}],圆心O((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

圆的标准方程:

在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2。

特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为x2+y2=r2。

圆的一般方程:

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4。故有:

①当D2+E2-4F>0时,方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心,以(√D2+E2-4F)/2为半径的圆。

②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2)。

③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形。

圆的参数方程:

以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,(其中θ为参数)。

圆的端点式:若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2),则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0。

圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x2+y2=r2上一点M(a0,b0)的切线方程为a0·x+b0·y=r2。

在圆(x2+y2=r2)外一点M(a0,b0)引该圆的两条切线,且两切点为A,B,则A,B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r2。

求圆的方程常见方法:

第一,直接代入法,已知圆心坐标和半径大小,直接带入圆的标准方程即可求解,这种方式是比较简单的。

第二,待定系数法,主要是根据题目中的条件设出所求圆的标准方程或者是一般方程。然后根据已知的条件建立圆心坐标和半径的方程组。最后将方程解出,求出圆心坐标和半径的值,并把它们带入所说的方程当中,就可以得所求圆的方程。而对于一般方程而言,则是建立有关于一次项系数和常数项为未知数的方程组。

第三,几何性质法,如果在求解圆的方程时,能够结合原有关的几何性质来进行考察,可以使思路更加的直观,计算简单,这就是利用数形结合的思想来进行解题。

第四,定义法,这种方法要先判断轨迹是圆,然后再写出方程。也就是利用两点之间的距离是否等于半径的关系作为判断的标准。